তাপে সিলিন্ডারের ব্যাস ও উচ্চতা বৃদ্ধির হার যথাক্রমে 0.025 ও 0.0135 হইলে আয়তন বৃদ্ধির হার কত? যদি ব্যাস ও উচ্চতা যথাক্রমে 10 ও25 একক বিশিষ্ট হয়।

একটি সিলিন্ডারের আয়তন (Volume), ব্যাস (Diameter) এবং উচ্চতা (Height) এর সাথে সম্পর্কিত। সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ (radius) \(r\) হলে, ব্যাস \(d = 2r\)।

সিলিন্ডারের আয়তনের সূত্র হলো:

\[V = \pi r^2 h\]

যেহেতু ব্যাস \(d\) দেওয়া আছে, আমরা ব্যাসার্ধ \(r = \frac{d}{2}\) ব্যবহার করতে পারি। তাহলে আয়তনের সূত্রটি হবে:

\[V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h\]

\[V = \frac{\pi}{4} d^2 h\]

এখন, সময়ের সাপেক্ষে আয়তন বৃদ্ধির হার (\(\frac{dV}{dt}\)) নির্ণয় করতে, আমরা উপরের সমীকরণটিকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করব। এখানে \(d\) এবং \(h\) উভয়ই সময়ের সাথে পরিবর্তিত হচ্ছে, তাই গুণের অন্তরীকরণ সূত্র (product rule) ব্যবহার করতে হবে:

যদি \(y = uvw\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}vw + u\frac{dv}{dt}w + uv\frac{dw}{dt}\)

আমাদের ক্ষেত্রে, \(V = \frac{\pi}{4} d^2 h\)। এখানে \(\frac{\pi}{4}\) একটি ধ্রুবক।

\[\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} \left( \frac{d}{dt}(d^2) \cdot h + d^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right)\]

আমরা জানি, \(\frac{d}{dt}(d^2) = 2d \frac{dd}{dt}\)। তাহলে,

\[\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} \left( 2d h \frac{dd}{dt} + d^2 \frac{dh}{dt} \right)\]

এখন প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

    
• ব্যাস (\(d\)) = 10 একক
    
• উচ্চতা (\(h\)) = 25 একক
    
• ব্যাস বৃদ্ধির হার (\(\frac{dd}{dt}\)) = 0.025
    
• উচ্চতা বৃদ্ধির হার (\(\frac{dh}{dt}\)) = 0.0135
    
• \(\pi \approx 3.14159\)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[\frac{dV}{dt} = \frac{3.14159}{4} \left( 2 \cdot 10 \cdot 25 \cdot (0.025) + (10)^2 \cdot (0.0135) \right)\]

প্রথমে বন্ধনীর ভিতরের অংশ গণনা করি:

\[2 \cdot 10 \cdot 25 \cdot (0.025) = 500 \cdot 0.025 = 12.5\]

\[(10)^2 \cdot (0.0135) = 100 \cdot 0.0135 = 1.35\]

সুতরাং, বন্ধনীর ভিতরের মোট যোগফল:

\[12.5 + 1.35 = 13.85\]

এখন সম্পূর্ণ মান নির্ণয় করি:

\[\frac{dV}{dt} = \frac{3.14159}{4} \cdot (13.85)\]

\[\frac{dV}{dt} = 0.7853975 \cdot 13.85\]

\[\frac{dV}{dt} \approx 10.87834375\]

অতএব, আয়তন বৃদ্ধির হার প্রায় 10.8783।